Záleží... k jakému to je monitoru (rozlišení a frekvence)? Co bude ve zbytku sestavy? Máš třeba stávající DDR4 paměti, které můžeš zužitkovat? Jestli ano, tak asi jít do Intelu (ten i5 13600K je do herního PC pak v podstatě ideální)...
Co se týče teplot, tak ty se odvijí od spotřeby - žravějsí CPU víc topí, záleží čím chladíš. U těch modelů, kde se operuje s vyššími takty ("K" u Intelu a "X" u AMD), to prostě topit bude, ale spíš se to týká situace, kdy se vytíží všechna jádra na 100%, k tomu při hraní ani nemáš šanci dospět, tam ty teploty budou o desítky stupňů nižší. Pokud chceš něco s menší spotřebou, tak můžeš vzít třeba Ryzen 7700 (bez X) -
https://www.czc.cz/amd-ryzen-7-7700/364665/produkt. Alternativně u Intelu je Core i5 13500 (bez K) -
https://www.czc.cz/intel-core-i5-13500/364349/produkt. Má stejný počet jader/vláken jako 13600K, ale pomalejší frekvence, které u něj také nemůžeš dohnat taktováním (pokud se do toho někdy budeš chtít pustit), zase je o dost levnější.
Jestli stavíš úplně novou setsavu (platformu), asi bych šel do AMD - líp to v budoucnu upgraduješ. Pokud máš DDR4, co chceš ještě použít, tak ten Intel... konkrétní model podle toho, jestli bys radši tu nižší spotřebu.
Edit: OK, teď koukám že ten i5 13500 je vlastně Alder Lake, na to bych se vykašlal... buď vezmi i5 13600K nebo Ryzen 7700 podle toho, jak to vidíš do budoucna s případným upgradem a jestli bys preferoval tu menší spotřebu Ryzenu (rozdíl od X varianty je ve hrách malý a kdyžtak se to dá dohnat aktivací PBO - samozřejmě se pak zvýší i spotřeba a teploty).